That was the reason ( ) Cathy gave for what she did.
()の後ろがどうして不完全文なのか分かりません。gave for がVでwhat以下が Oに見えます。

教えてください。

ちなみに()にはwhichが入ります。

まずはじめに、動詞には他動詞と自動詞があることを確かめておきましょう。

他動詞とは、独り立ちできない、何か”他のもの”の支えが必要な動詞であり、自動詞は独り立ちできる動詞であるとしましょう。

He runs　fast.　はそれだけで文がなりたちます。fastは副詞なので、runを説明するだけで、文の構成には関係ありません。よって、runは自動詞です。

He lives in Osaka. は in Osaka が、前置詞　in＋名詞　Osakaで副詞句を作ります。これは動詞liveを説明する句ですから、副詞句です。

このように、副詞は文の構成要素から外して考えましょう。

I gave it to him,　は、彼にそれを上げた　ですが、友人とお話する中で「彼に上げてん」とあなたが言った時、きっと友人は「何を？上げたん」と尋ねることでしょう。このように、何を？のような支えが必要な動詞が他動詞です。

That was the reason (which) Cathy gave for what she did.　では、キャッシーが彼女（自分）がしたことへのためにgaveしたreasonがいわゆる関係代名詞 which に変化したものです。

for what she did.は、what she did（名詞句）に前置詞　for が付いていますから、副詞句としてはたらくので、gaveを説明しています。彼女（自分が）したことへの理由としてgaveしたということですから、gaveの目的語とはなりません。

That was the reason Cathy gave (the reason:
which) for what she did. であれば、キャッシー以下が不完全な文であることが理解出来るかと思います。

名詞�@＋名詞�A＋動詞のつながりを見たら、名詞�@を隠して、後ろの文が完全になっていなければ、名詞�@と名詞�Aの間に代名詞（文法上は関係代名詞）の省略があると考えましょう。

That was the reason ( ) Cathy gave for what she did.

この文を訳すと　

それは理由やってん。（ほんでな、その理由はな）キャッシーが彼女（自分）のしたことの理由を説明するために差し出したもんやねん

ということになるでしょう。